13 ประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (และลักษณะของพวกเขา)

เมษายน 4, 2024

คณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาด้านวิทยาศาสตร์และทางด้านเทคนิคที่มีอยู่จริง เป็นกรอบหลักที่สาขาวิทยาศาสตร์อื่น ๆ สามารถทำการวัดและดำเนินการกับตัวแปรขององค์ประกอบที่ศึกษาได้ด้วยวิธีการที่นอกเหนือจากระเบียบวินัยในตัวมันเองสมมุติฐานต่อไปคือตรรกะหนึ่งในฐานของ ความรู้ทางวิทยาศาสตร์

แต่ภายในกระบวนการทางคณิตศาสตร์มีความหลากหลายมากและคุณสมบัติถูกศึกษาอยู่ระหว่างพวกเขาความสัมพันธ์ระหว่างสอง magnitudes หรือโดเมนที่เชื่อมโยงซึ่งในผลคอนกรีตจะได้รับหรือในการทำงานของค่าขององค์ประกอบคอนกรีต เป็นเรื่องเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งจะไม่ได้มีผลกระทบหรือเกี่ยวข้องกับกันเสมอไป

นั่นคือเหตุผล เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับรูปแบบต่างๆของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเราจะพูดถึงตลอดบทความนี้

บทความที่เกี่ยวข้อง: "14 ปริศนาคณิตศาสตร์ (และโซลูชั่นของพวกเขา)"

หน้าที่ในวิชาคณิตศาสตร์: คืออะไร?

ก่อนเริ่มสร้างประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่จะเป็นประโยชน์ในการแนะนำสั้น ๆ เพื่อให้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงเรื่องอะไรเมื่อพูดถึงหน้าที่

หน้าที่ทางคณิตศาสตร์หมายถึง การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรหรือ magnitudes . ตัวแปรดังกล่าวเป็นสัญลักษณ์จากตัวอักษรตัวสุดท้ายของตัวอักษร X และ Y และตามลำดับได้รับชื่อโดเมนและ codomain

ความสัมพันธ์นี้จะถูกแสดงออกมาในรูปแบบที่ต้องการให้มีการดำรงอยู่ของความเท่าเทียมกันระหว่างทั้งสองส่วนของการวิเคราะห์และโดยทั่วไปแล้วมันบ่งบอกว่าสำหรับแต่ละค่าของ X จะมีผล Y และในทางกลับกัน (แม้ว่าจะมีการจำแนกประเภทของฟังก์ชันที่ไม่สอดคล้องกัน กับข้อกำหนดนี้)

นอกจากนี้ฟังก์ชั่นนี้ ช่วยในการสร้างการแสดงในรูปแบบกราฟิก ซึ่งจะช่วยให้การทำนายพฤติกรรมของหนึ่งในตัวแปรจากที่อื่น ๆ รวมถึงข้อ จำกัด ที่เป็นไปได้ของความสัมพันธ์นี้หรือการเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของตัวแปรดังกล่าว

เป็นเรื่องที่เกิดขึ้นเมื่อเราพูดว่าบางอย่างขึ้นอยู่กับหรือขึ้นอยู่กับสิ่งอื่น (เพื่อให้ตัวอย่างถ้าเราพิจารณาว่าเกรดของเราในการทดสอบทางคณิตศาสตร์เป็นหน้าที่ของจำนวนชั่วโมงที่เราศึกษา) เมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เรากำลังระบุว่าการได้รับค่าหนึ่งขึ้นอยู่กับค่าของอีกบัญชีที่เชื่อมโยงอยู่

ในความเป็นจริงตัวอย่างก่อนหน้านี้สามารถแสดงออกได้โดยตรงในรูปแบบของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (แม้ว่าในโลกจริงความสัมพันธ์จะซับซ้อนกว่ามากเนื่องจากในความเป็นจริงมันขึ้นอยู่กับหลายปัจจัยและไม่ใช่เฉพาะกับจำนวนชั่วโมงที่ศึกษาเท่านั้น)

ประเภทหลักของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์

ต่อไปนี้เราจะแสดงประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์หลัก ๆ ซึ่งแบ่งออกเป็นกลุ่มต่างๆ ตามพฤติกรรมและชนิดของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร X และ Y .

1. ฟังก์ชันเกี่ยวกับพีชคณิต

ฟังก์ชั่นเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นชุดของรูปแบบของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดโดยการสร้างความสัมพันธ์ที่มีส่วนประกอบเป็นโมโนเมียหรือพหุนามและ ความสัมพันธ์ที่ได้รับผ่านการดำเนินงานของการดำเนินงานทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างง่าย : บวกลบ, คูณ, หาร, potentiation หรือสถานประกอบการ (การใช้ราก) ภายในประเภทนี้เราสามารถหาได้หลายประเภท

1.1 ฟังก์ชั่นที่ชัดเจน

ฟังก์ชันชัดเจนคือประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งความสัมพันธ์สามารถหาได้โดยการแทนที่โดเมน x สำหรับค่าที่สัมพันธ์กัน กล่าวคือเป็นหน้าที่โดยตรง เราพบการทำให้เท่ากันระหว่างค่าของและความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่โดเมนมีอิทธิพล x .

1.2 ฟังก์ชั่นโดยนัย

ไม่เหมือนในหน้าที่ก่อนหน้านี้ในการทำงานโดยปริยายความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนกับ codomain ไม่ได้รับการจัดตั้งขึ้นโดยตรงเนื่องจากจำเป็นต้องทำการแปลงข้อมูลและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆเพื่อหาทางที่ x และ y เกี่ยวข้อง

1.3 ฟังก์ชันพหุนาม

ฟังก์ชันพหุนามบางครั้งเข้าใจว่าตรงกันกับฟังก์ชันเกี่ยวกับพีชคณิตและอื่น ๆ เป็น subclass ของเหล่านี้รวมชุดของประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ เพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโควเจ้นจึงจำเป็นต้องดำเนินการหลายอย่างด้วยพหุนาม ของระดับที่แตกต่างกัน

ฟังก์ชั่นเชิงเส้นหรือเกรดแรกอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหาและเป็นหนึ่งในกลุ่มแรกที่เรียนรู้ ในพวกเขามีเพียงความสัมพันธ์ง่ายๆที่ค่าของ x จะสร้างค่าของ y และการแสดงกราฟิกเป็นเส้นที่มีการตัดแกนพิกัดโดยบางจุด รูปแบบเฉพาะจะเป็นความลาดเอียงของเส้นดังกล่าวและจุดที่จะตัดแกนและรักษาความสัมพันธ์ประเภทเดียวกันเสมอ

ภายในพวกเขาเราสามารถหาฟังก์ชัน identity, ที่มีการระบุตัวตนระหว่างโดเมนและ codomain โดยตรง (y = x) ฟังก์ชันเชิงเส้น (ซึ่งเราสังเกตเฉพาะรูปแบบของความลาดชัน, y = mx) และหน้าที่ที่เกี่ยวข้อง (ซึ่งเราสามารถหาการเปลี่ยนแปลงในจุดตัดของ abscissa และ slope, y = mx + a).

สมการกำลังสองหรือสองคือผู้ที่แนะนำพหุนามที่ตัวแปรเดียวมีพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นในช่วงเวลา (แต่ในความสัมพันธ์กับ codomain) จากขีด จำกัด ที่กำหนดฟังก์ชันมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดในแกนใดแกนหนึ่ง การแสดงภาพเป็นรูปเป็นพาราโบลาและแสดงทางคณิตศาสตร์เป็น y = ax2 + bx + c

ฟังก์ชั่นคงที่คือ จำนวนจริงเดียวเป็นตัวกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนกับโคกัม . นั่นคือไม่มีรูปแบบที่แท้จริงขึ้นอยู่กับค่าของทั้งสอง: codomain จะเป็นค่าคงที่ไม่มีตัวแปรโดเมนที่สามารถนำการเปลี่ยนแปลงได้ เพียงแค่ y = k

บางทีคุณอาจสนใจ: "Dyscalculia: ความยากลำบากเมื่อมันมาถึงการเรียนรู้คณิตศาสตร์"

1.4 ฟังก์ชั่นเหตุผล

ฟังก์ชันเหตุผลคือชุดของฟังก์ชันที่มีการกำหนดค่าของฟังก์ชันจากส่วนหารระหว่างพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ ในหน้าที่เหล่านี้โดเมนจะมีตัวเลขทั้งหมดยกเว้นกลุ่มที่ยกเลิกส่วนของส่วนซึ่งจะไม่อนุญาตให้มีค่า y

ในประเภทของฟังก์ชั่นนี้จะปรากฏเป็นขีด จำกัด ที่เรียกว่า asymptotes ซึ่งจะเป็นค่าที่จะไม่มีโดเมนหรือค่า codomain (นั่นคือเมื่อ y และ x เท่ากับ 0) ในข้อ จำกัด เหล่านี้ภาพกราฟิกมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดโดยที่ไม่ต้องพูดถึงขีด จำกัด ดังกล่าว ตัวอย่างของฟังก์ชันประเภทนี้: y = √ axe

1.5 ฟังก์ชั่นไร้เหตุผลหรือรุนแรง

พวกเขาได้รับชื่อของฟังก์ชันที่ไม่ลงตัวชุดของฟังก์ชันซึ่งมีการใช้ฟังก์ชันที่มีเหตุผลเข้ากับรากหรือราก (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเนื่องจากเป็นไปได้ว่าเป็นลูกบาศก์หรือมีเลขยกกำลังอื่น)

เพื่อให้สามารถแก้ปัญหาได้ เราต้องจำไว้ว่าการดำรงอยู่ของรากนี้จะมีข้อ จำกัด บางประการ เช่นความจริงที่ว่าค่าของ x จะต้องทำให้ผลลัพธ์ของรากเป็นบวกและมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

1.6 หน้าที่ที่กำหนดโดยชิ้น

ประเภทของฟังก์ชันนี้คือค่าที่ y เปลี่ยนลักษณะการทำงานของฟังก์ชันโดยมีช่วงเวลาสองช่วงที่มีพฤติกรรมแตกต่างกันมากตามค่าของโดเมน จะมีค่าที่จะไม่เป็นส่วนหนึ่งของค่านี้ซึ่งจะเป็นค่าที่ลักษณะการทำงานของฟังก์ชันจะแตกต่างกัน

2. ฟังก์ชั่นที่เหนือชั้น

ฟังก์ชันยอดเยี่ยมคือการแทนค่าทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ของความสัมพันธ์ระหว่างขนาดที่ไม่สามารถหาได้จากการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตและที่ จำเป็นต้องดำเนินการคำนวณที่ซับซ้อนเพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ของพวกเขา . ซึ่งส่วนใหญ่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่ต้องใช้อนุพันธ์ลัทธิอนุพันธ์ลอการิทึมหรือมีการเจริญเติบโตที่กำลังเติบโตหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง

2.1 ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตามที่ระบุโดยชื่อฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือชุดของฟังก์ชันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและ codomain ซึ่งมีการสร้างความสัมพันธ์ในการเติบโตขึ้นในระดับเลขยกกำลังนั่นคือมีการเติบโตที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ค่าของ x คือเลขชี้กำลังนั่นคือวิธีที่ ค่าของฟังก์ชันจะแตกต่างกันไปและเติบโตขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป . ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: y = ขวาน

2.2 ฟังก์ชันบันทึก

ลอการิทึมของตัวเลขใด ๆ คือเลขชี้กำลังซึ่งจะมีความจำเป็นที่จะต้องยกฐานที่ใช้เพื่อให้ได้จำนวนเฉพาะ ดังนั้นฟังก์ชันลอการิทึมเป็นข้อมูลที่เราใช้เป็นโดเมนจำนวนที่จะได้รับโดยมีพื้นฐานที่เฉพาะเจาะจง นี่คือกรณีตรงกันข้ามและผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง .

ค่าของ x ต้องมีค่ามากกว่าศูนย์และแตกต่างจาก 1 (เนื่องจากลอการิทึมใด ๆ ที่มีฐาน 1 เท่ากับศูนย์) การเจริญเติบโตของฟังก์ชันจะลดลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น ในกรณีนี้ y = loga x

2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ประเภทของฟังก์ชันที่กำหนดความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างองค์ประกอบต่างๆที่ประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือรูปทรงเรขาคณิตและโดยเฉพาะความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างมุมของรูป ในฟังก์ชันเหล่านี้เราจะหาการคำนวณ sin, cosine, tangent, secant, cotangent และ cosecant ก่อนค่าที่กำหนด x

การจัดหมวดหมู่อื่น

ชุดของประเภทฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายไว้ข้างต้นคำนึงถึงว่าสำหรับแต่ละค่าของโดเมนสอดคล้องกับค่าเดียวของ codomain (เช่นค่าแต่ละค่า x จะทำให้ค่าเฉพาะของ y) อย่างไรก็ตามแม้ว่าข้อเท็จจริงนี้ถือเป็นพื้นฐานและพื้นฐาน แต่ก็เป็นเรื่องที่เป็นไปได้ที่จะพบบางส่วน ประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งอาจมีความแตกต่างกันไปบ้างระหว่างการตอบสนองระหว่าง x และ y . โดยเฉพาะเราสามารถหาชนิดของฟังก์ชันต่อไปนี้ได้

1. ฟังก์ชันการแทรกแซง

ชื่อของฟังก์ชัน injective คือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่าง domain และ codomain ซึ่งแต่ละค่าของ codomain เชื่อมโยงเฉพาะกับค่าของโดเมนเท่านั้น นั่นคือ x จะสามารถมีค่าเดียวสำหรับค่าหนึ่งหรืออาจไม่มีค่า (นั่นคือค่าเฉพาะของ x อาจไม่เกี่ยวข้องกับ y)

2. ฟังก์ชั่น Surjective

ฟังก์ชัน surjective คือทั้งหมดที่ แต่ละคนและทุกองค์ประกอบหรือค่าของ codomain (y) เกี่ยวข้องกับโดเมนอย่างน้อยหนึ่งโดเมน (x) แม้ว่าพวกเขาสามารถเพิ่มเติม มันไม่จำเป็นต้องเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องฉีด (เพื่อให้สามารถเชื่อมโยงหลายค่าของ x ไป y เดียวกัน)

3. ฟังก์ชั่นการทำสมาธิ

ประเภทของฟังก์ชันที่ทั้งสองคุณสมบัติ injectible และ surjective มีชื่อเป็นเช่น. ฉันหมายถึง, มีค่า x เดียวสำหรับแต่ละและ , และค่าโดเมนทั้งหมดสอดคล้องกับหนึ่งใน codomain

4. ฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่แบบฉีดและไม่ใช่ค่าชดเชย

ฟังก์ชันประเภทนี้บ่งชี้ว่ามีค่าหลายค่าของโดเมนสำหรับ codomain เฉพาะ (นั่นคือค่าที่แตกต่างกันของ x จะให้ค่า y เหมือนกัน) ในเวลาเดียวกันค่าอื่น ๆ ของ y ไม่ได้เชื่อมโยงกับค่าของ x